О каких из следующих четырёхугольников можно точно сказать, что в них можно вписать окружность? 1) Четырёхугольник, у которого все биссектрисы пересекаются в одной точке. 2) Равнобедренная трапеция, периметр которой равен 28 см, а боковая сторона — 7 см. 3) Четырёхугольник, у которого две противоположные стороны равны. 4) Четырёхугольник, у которого все стороны равны. 5) Четырёхугольник, у которого все углы равны. 6) Четырёхугольник со сторонами 12, 10, 11 и 11.

Правильный ответ: 1, 2 и 4.

Разберём каждый пункт подробно.

Для того чтобы в выпуклый четырёхугольник можно было вписать окружность, необходимо, чтобы существовала точка, равноудалённая от всех его сторон. Такая точка является центром вписанной окружности.

1) Четырёхугольник, у которого все биссектрисы пересекаются в одной точке.

Точка пересечения биссектрис равноудалена от сторон соответствующих углов. Если все четыре биссектрисы пересекаются в одной точке, то эта точка равноудалена от всех четырёх сторон. Следовательно, окружность с центром в этой точке можно вписать в четырёхугольник.

2) Равнобедренная трапеция, периметр которой равен 28 см, а боковая сторона — 7 см.

В равнобедренной трапеции боковые стороны равны, поэтому обе они имеют длину 7 см.

Найдём сумму оснований:

Получаем:

• сумма оснований равна 14 см;

• сумма боковых сторон также равна 14 см.

По признаку описанного четырёхугольника, если суммы длин противоположных сторон равны, то в рамках стандартного школьного критерия трапеция является описанной около окружности.

Следовательно, в такую трапецию можно вписать окружность.

3) Четырёхугольник, у которого две противоположные стороны равны.

Равенство двух противоположных сторон само по себе не гарантирует возможности вписать окружность.

Для этого недостаточно знать только длины двух сторон — важны также остальные стороны и углы четырёхугольника.

4) Четырёхугольник, у которого все стороны равны.

Такой четырёхугольник является ромбом.

В ромб всегда можно вписать окружность, поскольку его диагонали являются биссектрисами углов и пересекаются в точке, равноудалённой от всех четырёх сторон.

5) Четырёхугольник, у которого все углы равны.

Если все углы четырёхугольника равны, то каждый из них составляет 90°. Следовательно, это прямоугольник.

В прямоугольник можно вписать окружность только в том случае, если он является квадратом, то есть если все его стороны равны.

Поэтому для произвольного прямоугольника нельзя утверждать, что в него можно вписать окружность.

6) Четырёхугольник со сторонами 12, 10, 11 и 11.

Проверим суммы:

Суммы равны, то есть выполняется необходимое условие существования вписанной окружности.

Однако равенство сумм противоположных сторон само по себе не является достаточным условием для произвольного выпуклого четырёхугольника. Поэтому только по указанным длинам нельзя гарантировать наличие вписанной окружности.

Итог:

Если рассматривать задачу строго математически, без дополнительных предположений, правильные варианты — 1, 2 и 4.

Вариант 6 часто включают в школьные задания как применение признака по равенству сумм противоположных сторон, но в общем случае такой вывод требует дополнительного обоснования.