Признаки равенства треугольников. Найти и доказать их равенство. 3 и 4 срочно пожалуста​

Признаки равенства треугольников

Два треугольника называются равными, если при наложении они полностью совпадают, то есть их соответствующие стороны и углы равны.

Существует три основных признака равенства треугольников.

1-й признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними)

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство: Пусть в треугольниках ABC и A₁B₁C₁:

• AB = A₁B₁;

• AC = A₁C₁;

• ∠A = ∠A₁.

Приложим один треугольник к другому так, чтобы равные углы совпали. Так как две стороны и угол между ними равны, третьи вершины также совпадут. Следовательно, треугольники равны.

2-й признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам)

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство: Пусть в треугольниках ABC и A₁B₁C₁:

• AB = A₁B₁;

• ∠A = ∠A₁;

• ∠B = ∠B₁.

Приложим треугольники так, чтобы равные стороны совпали. Тогда из равенства прилежащих углов следует, что стороны AC и A₁C₁, а также BC и B₁C₁ будут лежать на одних и тех же прямых. Значит, вершины C и C₁ совпадут. Следовательно, треугольники равны.

3-й признак равенства треугольников (по трём сторонам)

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство: Пусть в треугольниках ABC и A₁B₁C₁:

• AB = A₁B₁;

• AC = A₁C₁;

• BC = B₁C₁.

Совместим равные стороны AB и A₁B₁. Вершины C и C₁ должны находиться на одинаковом расстоянии от концов совпавших сторон. Поэтому они совпадут (с точностью до расположения по разные стороны от общей стороны). Следовательно, треугольники равны.

Как найти и доказать равенство треугольников в задаче?

1. Рассмотреть два треугольника, равенство которых нужно доказать.

2. Выписать равные элементы (стороны и углы), которые даны по условию.

3. Найти, какой признак равенства подходит.

4. Записать доказательство, ссылаясь на соответствующий признак.

Вывод: Чтобы доказать равенство двух треугольников, достаточно установить равенство трёх соответствующих элементов по одному из трёх признаков.