Отрезок CH — высота прямоугольного треугольника ABC (∠C = 90°). HL = 3HK, где HL и HK — биссектрисы треугольников BCH и ACH соответственно, AB = 2√5. Найти площадь ABC.

Пусть \(AH = x\), \(HB = y\). Тогда:

\[AB = x + y = 2\sqrt5\]

Так как \(CH\) — высота к гипотенузе прямоугольного треугольника, то:

\[CH = \sqrt{xy}\]

В прямоугольных треугольниках \(ACH\) и \(BCH\) биссектрисы проведены из вершины \(H\). Длина биссектрисы прямого угла с катетами \(a\) и \(b\):

\[l = \frac{\sqrt2ab}{a+b}\]

По условию \(HL = 3HK\), значит:

\[\frac{y}{y + CH} = 3\cdot \frac{x}{x + CH}\]

Подставим \(CH = \sqrt{xy}\). Пусть \(\sqrt{\frac{y}{x}} = t\). Тогда получается:

\[t = 3\]

Значит:

\[\frac{y}{x} = 9\]

То есть \(y = 9x\). Тогда:

\[x + y = 10x = 2\sqrt5\]

\[x = \frac{\sqrt5}{5}\]

Теперь найдём высоту:

\[CH = \sqrt{xy} = \sqrt{x\cdot 9x} = 3x = \frac{3\sqrt5}{5}\]

Площадь треугольника:

\[S = \frac12 \cdot AB \cdot CH\]

\[S = \frac12 \cdot 2\sqrt5 \cdot \frac{3\sqrt5}{5} = 3\]

Ответ: \(3\).

0 0 Пожаловаться