Докажите, что медиана и пересекающаяся с ней средняя линия треугольника делятся пополам в точке их пересечения. Желательно с чертежом.

Пусть в треугольнике \(ABC\) точка \(M\) — середина стороны \(BC\), поэтому \(AM\) — медиана. Точки \(D\) и \(E\) — середины сторон \(AB\) и \(AC\). Тогда \(DE\) — средняя линия, она пересекает медиану \(AM\) в точке \(P\).

Запишем координаты точек как векторы. Так как \(M\), \(D\) и \(E\) — середины сторон,

\[M=\frac{B+C}{2},\qquad D=\frac{A+B}{2},\qquad E=\frac{A+C}{2}.\]

Середина отрезка \(AM\) имеет координаты

\[\frac{A+M}{2}=\frac{A+\frac{B+C}{2}}{2}=\frac{2A+B+C}{4}.\]

Середина отрезка \(DE\) имеет координаты

\[\frac{D+E}{2}=\frac{\frac{A+B}{2}+\frac{A+C}{2}}{2}=\frac{2A+B+C}{4}.\]

Получилась одна и та же точка \(P\). Значит, \(P\) одновременно является серединой \(AM\) и серединой \(DE\). Следовательно, медиана и пересекающая её средняя линия делятся пополам в точке пересечения.

0 0 Пожаловаться