Докажите, что медиана треугольника меньше полусуммы сторон, выходящих из той же вершины.

Пусть в треугольнике \(ABC\) медиана \(AM\) проведена из вершины \(A\), а \(M\) — середина стороны \(BC\). По теореме о медиане:

\[4AM^2=2AB^2+2AC^2-BC^2.\]

Рассмотрим разность:

\[(AB+AC)^2-4AM^2=BC^2-(AB-AC)^2.\]

В любом треугольнике \(BC>|AB-AC|\), поэтому \(BC^2-(AB-AC)^2>0\). Значит, \((AB+AC)^2>4AM^2\).

Все длины положительны, следовательно, \(AB+AC>2AM\), то есть

\[AM<\frac{AB+AC}{2}.\]

Следовательно, медиана меньше полусуммы сторон, выходящих из той же вершины.

0 0 Пожаловаться