Докажите, что медиана треугольника меньше полусуммы сторон, выходящих с ней из одной вершины, и больше полуразности суммы этих сторон и третьей стороны треугольника.

Для доказательства данного неравенства рассмотрим треугольник с вершинами $A$, $B$, $C$, где медиана $m_a$ опущена из вершины $A$ на сторону $BC$. Пусть стороны треугольника равны: $a = BC$, $b = CA$, $c = AB$.

Медиана $m_a$ треугольника разделяет его на два меньших треугольника, каждый из которых имеет общую вершину в точке середины стороны $BC$. Мы будем доказывать два неравенства, которые формулируются в вопросе:

1. Медиана меньше полусуммы сторон, выходящих с ней из одной вершины.
   Это означает, что нужно доказать:

   $$m_a < \frac{b + c}{2}.$$

2. Медиана больше полуразности суммы сторон и третьей стороны.
   Нужно доказать, что:

   $$m_a > \frac{b + c - a}{2}.$$

Доказательство первого неравенства:

Для начала используем неравенство треугольника для сторон $a$, $b$ и $c$ треугольника $ABC$. В частности, применим его к треугольникам, образованным медианой. Из теоремы о медианах мы знаем, что длина медианы $m_a$ удовлетворяет неравенству:

Теперь, чтобы доказать, что медиана $m_a$ меньше полусуммы сторон $b$ и $c$, рассмотрим следующее:

Применим метод сравнения. Нам нужно показать, что:

Раскроем квадрат в правой части:

Сравнивая два выражения:

Умножив обе части неравенства на 4, получаем:

Теперь упростим это неравенство:

Это неравенство выполняется, так как оно является следствием неравенства треугольника $a < b + c$, что эквивалентно $a^2 < (b + c)^2$, а значит, $a^2 - b^2 - c^2 < 2bc$.

Таким образом, медиана $m_a$ действительно меньше полусуммы сторон, выходящих из вершины $A$, то есть:

Доказательство второго неравенства:

Теперь докажем, что медиана $m_a$ больше полуразности суммы сторон и третьей стороны. То есть нужно доказать:

Используем уже известное выражение для $m_a^2$: