Докажите, что перпендикуляр, проведённый из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведённой из этой же точки к этой прямой.

Для доказательства утверждения, что перпендикуляр, проведённый из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведённой из этой же точки к прямой, воспользуемся геометрией и основными свойствами углов и расстояний.

Рассмотрим прямую $l$ и точку $P$, которая не лежит на этой прямой. Из точки $P$ можно провести два типа прямых:

1. Перпендикуляр $PM$, который будет перпендикулярным к прямой $l$ и пересекает её в точке $M$.

2. Наклонная $PN$, которая также начинается в точке $P$, но не является перпендикулярной прямой $l$, а пересекает её в точке $N \, (\neq M)$.

Теперь рассмотрим два треугольника:

• Треугольник $PMP'$, где $P'$ — точка на прямой $l$, расположенная так, что линия $P'P$ параллельна линии $PM$. Этот треугольник является прямоугольным.

• Треугольник $PNP'$, где $N$ — точка пересечения наклонной $PN$ с прямой $l$, и $N'$ — точка на прямой $l$, такая, что линия $P'N$ параллельна линии $PN$.

Таким образом, для наклонной $PN$ угол между линией $PN$ и прямой $l$ больше прямого угла, тогда как угол между перпендикулярной линией $PM$ и прямой $l$ равен 90 градусам. Поскольку угол между наклонной и прямой больше, то длина наклонной будет больше, чем длина перпендикуляра.

Итак, перпендикуляр всегда меньше любой наклонной, проведённой из этой точки к прямой.