Докажите, что для любого числа x справедливо неравенство (6x + 1)(x - 1) > (2x + 1)(x - 3).

Чтобы доказать, что для любого числа $x$ справедливо неравенство:

начнем с преобразования обеих сторон неравенства.

1. Раскроем скобки на обеих сторонах неравенства.

Слева:

Справа:

2. Перепишем неравенство с раскрытыми скобками.

Теперь неравенство выглядит так:

3. Приведем подобные члены.

Переносим все члены на одну сторону неравенства:

Упрощаем:

что даёт:

4. Упростим выражение.

Неравенство $4x^2 + 2 > 0$ можно записать как:

Так как квадрат любого числа $x^2$ всегда неотрицателен, то выражение $4x^2$ всегда больше или равно нулю, а следовательно, оно всегда больше $-2$.

Таким образом, неравенство $4x^2 + 2 > 0$ выполняется для всех значений $x$.

5. Вывод.

Мы доказали, что для любого числа $x$ неравенство $(6x + 1)(x - 1) > (2x + 1)(x - 3)$ выполняется.