Через точку А, не лежащую на окружности, к этой окружности проведите касательные АВ и АС. Точки В и С - точки касания. Докажите, что АВ = АС. пж помогите

Давайте рассмотрим задачу и разберём её поэтапно.

У нас есть окружность с центром в точке O и радиусом R. Из точки A, которая не лежит на окружности, проведены две касательные АВ и АС к этой окружности, где точки B и C — точки касания окружности.

Нужно доказать, что отрезки АВ и АС равны, т.е. АВ = АС.

1. Основные геометрические факты:

• Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.
• Отрезки, соединяющие внешнюю точку с точками касания окружности, равны между собой.

2. Рассмотрим треугольники:

Проведем два радиуса окружности:

• $OB$ — радиус, проведённый в точку касания B.
• $OC$ — радиус, проведённый в точку касания C.

Эти радиусы перпендикулярны касательным:

• $\angle OBA = 90^\circ$
• $\angle OCA = 90^\circ$

3. Рассмотрим треугольники $OAB$ и $OAC$:

• Радиусы $OB = OC$ (это радиусы одной и той же окружности).
• Углы $\angle OBA = \angle OCA = 90^\circ$ (поскольку касательные перпендикулярны радиусам в точках касания).
• Отрезки $OA$ общи для обоих треугольников.

Следовательно, по теореме о равенстве прямоугольных треугольников (по гипотенузе и одному катету) треугольники $OAB$ и $OAC$ равны. А значит, и отрезки $AB$ и $AC$ равны.

4. Заключение:

Таким образом, $AB = AC$, что и требовалось доказать.