1) Площадь треугольника ABC равна 36. На стороне AC выбрана точка K так, что AK : KC = 1 : 5. Найдите площадь треугольника KBC.

2) Вычислите радиус окружности, описанной около треугольника, величины углов которого пропорциональны числам 2, 3 и 4, если его средняя сторона равна 4√3.

3) Из середины стороны треугольника проведены прямые, параллельные двум другим его сторонам. Найдите площадь получившегося четырёхугольника, если площадь данного треугольника равна 60.

4) Найдите площадь треугольника, если основание равно а, углы при основании равны π/6 и π/4.

1) Треугольники \(ABC\) и \(KBC\) имеют общую высоту, поэтому их площади относятся так же, как основания \(AC\) и \(KC\).

\[\frac{S_{KBC}}{S_{ABC}}=\frac{KC}{AC}=\frac{5}{1+5}=\frac{5}{6}.\]

\[S_{KBC}=36\cdot\frac{5}{6}=30.\]

Ответ: \(30\).

2) Углы равны \(40^\circ\), \(60^\circ\) и \(80^\circ\). Средняя сторона лежит против угла \(60^\circ\).

По теореме синусов:

\[R=\frac{a}{2\sin60^\circ}=\frac{4\sqrt3}{2\cdot\frac{\sqrt3}{2}}=4.\]

Ответ: \(4\).

3) Получившийся четырёхугольник подобен исходному треугольнику с коэффициентом \(\frac12\) по двум направлениям, поэтому его площадь составляет четверть площади треугольника:

\[S=60\cdot\frac14=15.\]

Ответ: \(15\).

4) Угол при вершине равен:

\[\pi-\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12}.\]

Площадь через сторону и углы при основании:

\[S=\frac{a^2\sin\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{4}}{2\sin\frac{7\pi}{12}}=\frac{a^2(\sqrt3-1)}{4}.\]

Ответ: \(\frac{a^2(\sqrt3-1)}{4}\).

0 0 Пожаловаться