Конус, площадь боковой поверхности которого в 3 раза больше площади основания, и шар с радиусом кубический корень из 2 равновелики. Найти высоту конуса.

Площадь боковой поверхности конуса равна \(\pi rl\), а площадь основания — \(\pi r^2\). По условию:

\[\pi rl=3\pi r^2\]

Значит, \(l=3r\). По теореме Пифагора для образующей конуса:

\[h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{9r^2-r^2}=2\sqrt{2}r\]

Радиус шара \(R=\sqrt[3]{2}\), поэтому его объём:

\[V_{шара}=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{8}{3}\pi\]

Объёмы равны, следовательно:

\[\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{8}{3}\pi\]

Подставляем \(h=2\sqrt{2}r\) и получаем \(r=\sqrt{2}\). Тогда:

\[h=2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=4\]

Ответ: высота конуса равна \(4\).

0 0 Пожаловаться