1) Площадь поверхности шара равна 144 см^2. Найдите диаметр шара.
2) Высота конуса 5 сантиметров, а радиус основания 12 см. Найдите объём и площадь боковой поверхности конуса.
3) Диагональ осевого сечения цилиндра 12 сантиметров и образует с плоскостью нижнего основания угол 45 градусов. Найдите объём и площадь боковой поверхности цилиндра.
4) Осевое сечение конуса — равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой 6 сантиметров. Найдите объём конуса.
5) Диагональ осевого сечения усечённого конуса делится точкой пересечения на отрезки длиной 5,1 и 11,9 сантиметров, а его образующая равна 10 сантиметров. Найдите объём усечённого конуса.
6) Найдите объём шарового сектора, если радиус шара 6 сантиметров, а высота соответствующего шарового сегмента 2 сантиметра.

1) Площадь поверхности шара: \(S=4\pi R^2\).

\[4\pi R^2=144,\qquad R=\frac{6}{\sqrt{\pi}}.\]

Диаметр \(d=2R\), поэтому \(d=\frac{12}{\sqrt{\pi}}\) см.

2) Образующая конуса: \(l=\sqrt{5^2+12^2}=13\) см.

\[V=\frac13\pi r^2h=\frac13\pi\cdot12^2\cdot5=240\pi\text{ см}^3.\]

\[S_{\text{бок}}=\pi rl=\pi\cdot12\cdot13=156\pi\text{ см}^2.\]

3) Высота цилиндра равна \(12\sin45^\circ=6\sqrt2\) см, а диаметр основания равен \(12\cos45^\circ=6\sqrt2\) см. Значит, \(r=3\sqrt2\) см.

\[V=\pi r^2h=108\sqrt2\pi\text{ см}^3.\]

\[S_{\text{бок}}=2\pi rh=72\pi\text{ см}^2.\]

4) Гипотенуза осевого сечения — диаметр основания, поэтому \(r=3\) см. Высота конуса равна \(3\) см.

\[V=\frac13\pi r^2h=\frac13\pi\cdot9\cdot3=9\pi\text{ см}^3.\]

5) Отрезки диагонали относятся как радиусы оснований: \(R:r=11{,}9:5{,}1=7:3\). Получаем \(R=10{,}5\) см, \(r=4{,}5\) см, высота \(h=8\) см.

\[V=\frac13\pi h(R^2+Rr+r^2)=474\pi\text{ см}^3.\]

6) Объём шарового сектора:

\[V=\frac23\pi R^2h=\frac23\pi\cdot6^2\cdot2=48\pi\text{ см}^3.\]

0 0 Пожаловаться