Докажите, что если в треугольнике две стороны равны, то медианы, проведённые к этим сторонам, также равны.

Пусть в треугольнике \(ABC\) стороны \(AB\) и \(AC\) равны. Проведём медианы \(BM\) к стороне \(AC\) и \(CN\) к стороне \(AB\).

Так как \(M\) и \(N\) — середины сторон, то \(AM=\frac{AC}{2}\), \(AN=\frac{AB}{2}\). Поскольку \(AB=AC\), получаем \(AM=AN\).

Углы \(BAM\) и \(CAN\) равны: оба они равны углу \(BAC\). Значит, треугольники \(ABM\) и \(ACN\) равны по двум сторонам и углу между ними.

Следовательно, \(BM=CN\). Медианы, проведённые к равным сторонам, равны.

0 0 Пожаловаться