Объем правильной треугольной пирамиды равен [tex]8 \sqrt{3}[/tex], а плоскость, проходящая через сторону основания пирамиды и центр вписанного шара, перпендикулярна противолежащему ребру пирамиды. Найдите радиус вписанного шара.

Обозначим радиус вписанной окружности основания через \(q\), высоту пирамиды — через \(h\), радиус вписанного шара — через \(r\).

Из условия перпендикулярности плоскости и противолежащего бокового ребра получаем:

\[h=\frac{2q^2}{r}.\]

Для правильной треугольной пирамиды

\[r=\frac{qh}{q+\sqrt{h^2+q^2}}.\]

Подставляя \(r=\frac{2q^2}{h}\), получаем \(h=2\sqrt{2}q\), а значит \(r=\frac{q}{\sqrt{2}}\).

Объём пирамиды:

\[V=\sqrt{3}q^2h=8\sqrt{3}.\]

Следовательно, \(q^2h=8\). После подстановки \(h=2\sqrt{2}q\) имеем \(q=\sqrt{2}\). Тогда

\[r=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1.\]

Ответ: \(1\).

0 0 Пожаловаться