Две окружности пересекаются в точках P и Q. Через точку A первой окружности проведены прямые AP и AQ, пересекающие вторую окружность в точках B и C. Докажите, что касательная в точке A к первой окружности параллельна прямой BC.

Точки \(A, P, Q\) лежат на первой окружности, поэтому угол между касательной в точке \(A\) и хордой \(AP\) равен вписанному углу, опирающемуся на хорду \(AP\):

\[\angle(\text{касательная},AP)=\angle AQP.\]

Точки \(A, Q, C\) лежат на одной прямой, значит \(\angle AQP=\angle CQP\).

Точки \(B, C, P, Q\) лежат на второй окружности. Углы \(\angle CQP\) и \(\angle CBP\) опираются на одну хорду \(CP\), поэтому они равны:

\[\angle CQP=\angle CBP.\]

Но точки \(A, P, B\) лежат на одной прямой. Значит, касательная в точке \(A\) и прямая \(BC\) образуют с прямой \(AP\) равные углы. Следовательно, касательная в точке \(A\) параллельна \(BC\).

0 0 Пожаловаться