Пифагоровым треугольником называется прямоугольный треугольник, длины сторон которого выражаются целыми числами. Примером такого треугольника является треугольник со сторонами 3, 4, 5. Докажите, что во всяком пифагоровом треугольнике с катетами a, b и гипотенузой c хотя бы одно из чисел a или b чётно.

Предположим, что оба катета \(a\) и \(b\) нечётные. Тогда при делении на \(4\) квадрат каждого из них даёт остаток \(1\):

\[a^2 \equiv 1 \pmod 4, \qquad b^2 \equiv 1 \pmod 4.\]

По теореме Пифагора:

\[c^2=a^2+b^2.\]

Значит,

\[c^2 \equiv 1+1 \equiv 2 \pmod 4.\]

Но квадрат целого числа при делении на \(4\) может давать остаток только \(0\) или \(1\), а остаток \(2\) невозможен. Получили противоречие.

Следовательно, оба катета не могут быть нечётными, поэтому хотя бы один из чисел \(a\) или \(b\) чётный.

0 0 Пожаловаться