Основанием пирамиды служит равнобедренная трапеция, основания которой равны 2 и 8 см. Боковые грани наклонены к основанию под углом 60°. Найдите высоту пирамиды и площадь её боковой поверхности.
Вот рисунок и дано:

Если все боковые грани наклонены к основанию под углом \(60^\circ\), проекция вершины пирамиды на основание является центром вписанной в трапецию окружности.

Боковая сторона трапеции:

\[c=\frac{2+8}{2}=5\text{ см}.\]

Высота трапеции равна:

\[h_{\text{тр}}=\sqrt{5^2-3^2}=4\text{ см}.\]

Площадь трапеции \(S=\frac{2+8}{2}\cdot4=20\text{ см}^2\), её полупериметр равен \(10\text{ см}\). Поэтому радиус вписанной окружности:

\[r=\frac{20}{10}=2\text{ см}.\]

Высота пирамиды:

\[H=r\tan60^\circ=2\sqrt{3}\text{ см}.\]

Высота каждой боковой грани равна \(\frac{H}{\sin60^\circ}=4\text{ см}\). Периметр основания \(P=2+8+5+5=20\text{ см}\), значит:

\[S_{\text{бок}}=\frac12\cdot20\cdot4=40\text{ см}^2.\]

Ответ: \(2\sqrt{3}\text{ см}\); \(40\text{ см}^2\).

0 0 Пожаловаться