Внутри куба расположены два равных шара, касающихся друг друга. При этом один шар касается трёх граней куба, имеющих общую вершину, а другой касается трёх оставшихся граней.
а) Докажите, что центры шаров принадлежат диагонали куба, исходящей из общей для граней вершины.
б) Найдите радиусы этих шаров, если ребро куба равно 13.

а) Рассмотрим вершину куба, общую для трёх граней, которых касается первый шар. Расстояние от центра шара до каждой из этих граней равно радиусу \(r\). Значит, центр первого шара равноудалён от трёх граней куба.

Точки, равноудалённые от трёх граней, имеющих общую вершину, лежат на диагонали куба, выходящей из этой вершины. Поэтому центр первого шара лежит на этой диагонали. Центр второго шара равноудалён от трёх противоположных граней, значит, он лежит на той же диагонали.

б) Пусть ребро куба равно \(13\), а радиус каждого шара равен \(r\). Тогда расстояние между центрами вдоль пространственной диагонали равно

\[\sqrt{3}(13-2r).\]

Шары касаются друг друга, поэтому расстояние между их центрами равно \(2r\):

\[\sqrt{3}(13-2r)=2r.\]

Решим уравнение:

\[13\sqrt{3}=2r+2r\sqrt{3},\]

\[r=\frac{13\sqrt{3}}{2(1+\sqrt{3})}=\frac{13(3-\sqrt{3})}{4}.\]

Ответ: \[r=\frac{13(3-\sqrt{3})}{4}.\]

0 0 Пожаловаться