На сторонах правильного треугольника ABC отложены равные отрезки AD, BE и CF. Точки D, E и F соединены отрезками. Докажите, что треугольник DEF правильный.

Обозначим сторону треугольника \(ABC\) через \(a\), а равные отрезки \(AD=BE=CF\) — через \(x\).

Расположим треугольник на координатной плоскости: \(A(0,0)\), \(B(a,0)\), \(C\left(\frac a2,\frac{\sqrt3a}{2}\right)\). Тогда, вычислив координаты точек \(D\), \(E\) и \(F\), получим:

\[DE^2=a^2-3ax+3x^2,\]

\[EF^2=a^2-3ax+3x^2,\]

\[FD^2=a^2-3ax+3x^2.\]

Следовательно, \(DE=EF=FD\). Значит, треугольник \(DEF\) имеет три равные стороны, поэтому он правильный.

0 0 Пожаловаться