Abcd ромб, если ac>bd и (ac/bd)-(bd/ac)=2. Найдите угол А.

Пусть \(AC\) и \(BD\) — диагонали ромба. По условию:

\[\frac{AC}{BD}-\frac{BD}{AC}=2.\]

Обозначим \(x=\frac{AC}{BD}\). Тогда:

\[x-\frac{1}{x}=2,\]

\[x^2-2x-1=0.\]

Так как \(x>0\), получаем:

\[x=1+\sqrt{2}.\]

В ромбе \(\frac{AC}{BD}=\operatorname{ctg}\frac{A}{2}\). Поэтому:

\[\operatorname{ctg}\frac{A}{2}=1+\sqrt{2}=\operatorname{ctg}22{,}5^\circ.\]

Значит, \(\frac{A}{2}=22{,}5^\circ\), следовательно, \(\boxed{A=45^\circ}\).

0 0 Пожаловаться