Через концы А и В дуги окружности с центром О проведены касательные АС и ВС. Угол САВ равен 63°. Найдите угол АОВ. Ответ дайте в градусах.

Задача сводится к нахождению угла $\angle AOB$ в окружности, где касательные $AC$ и $BC$ проведены через точки $A$ и $B$ соответственно.

1. Основные сведения: Касательные к окружности из одной точки равны между собой по длине, и они образуют одинаковые углы с радиусами, проведёнными в точку касания. В данном случае, углы $\angle OAC$ и $\angle OBC$ будут прямыми, так как касательная всегда перпендикулярна радиусу в точке касания.

2. Углы на окружности: Из условия задачи мы знаем, что угол $\angle CAB = 63^\circ$ — это угол между касательными $AC$ и $BC$ в точке $A$.

3. Применение теоремы о внешнем угле: Угол $\angle CAB$ является внешним углом для треугольника $OAC$ и $OBC$, и этот угол связан с центральным углом $\angle AOB$ по следующей теореме: угол между двумя касательными, проведёнными к окружности из одной точки, равен половине центрального угла, заключённого между радиусами, проведёнными в точки касания.

   То есть, угол $\angle AOB$ в два раза больше угла $\angle CAB$:

   $$\angle AOB = 2 \times \angle CAB = 2 \times 63^\circ = 126^\circ.$$

Таким образом, угол $\angle AOB$ равен 126°.