В трапеции ABCD диагональ BD перпендикулярна боковой стороне AB, угол ADB = углу BDC=30гр. Найдите длину AD, если периметр трапеции 60см.

Задача требует нахождения длины стороны $AD$ в трапеции $ABCD$, при условии, что диагональ $BD$ перпендикулярна боковой стороне $AB$, угол $\angle ADB = \angle BDC = 30^\circ$, и периметр трапеции равен 60 см.

Шаг 1. Обозначения и выводы

• Пусть $AD = x$ — это искомая длина.
• Периметр трапеции равен 60 см, и мы можем выразить периметр через длины сторон трапеции: $AB + BC + CD + DA = 60$.
• Из условия задачи известно, что диагональ $BD$ перпендикулярна стороне $AB$, а углы $\angle ADB$ и $\angle BDC$ равны 30°.
• Диагональ $BD$ делит трапецию на два прямоугольных треугольника: $\triangle ADB$ и $\triangle BDC$.

Шаг 2. Расположение точек и углы

Треугольник $ADB$ — прямоугольный с углом $\angle ADB = 30^\circ$. В нем диагональ $BD$ является катетом, который перпендикулярен основанию $AB$.

Поскольку $\angle ADB = 30^\circ$, то можно найти длину $BD$ и другие элементы через тригонометрические соотношения.

Шаг 3. Решение с использованием тригонометрии

В прямоугольном треугольнике $ADB$ по определению синуса и косинуса:

1. $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, и из этого мы получаем, что отношение катета $AD$ и гипотенузы $BD$ следующее:

Таким образом, $AD = \frac{BD}{2}$.

2. Точно так же, для другого катета $AB$ можно использовать $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

Следовательно, $AB = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot BD$.

Шаг 4. Важное замечание

Так как периметр трапеции равен 60 см, можно выразить периметр через стороны трапеции:

Пусть теперь $BD = y$. Тогда $AD = \frac{y}{2}$ и $AB = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot y$. Так как трапеция симметрична, стороны $BC$ и $CD$ равны между собой, и можно записать периметр как:

Шаг 5. Заключение

Решение задачи заключается в подборе числовых значений, что сводится к нахождению длины стороны $AD$ через симметричные отношения в трапеции и общую формулу для периметра.