Найдите сумму первых десяти членов арифметической прогрессии, если \( a_4 = 10 \), \( a_7 = 19 \).

Для того чтобы найти сумму первых десяти членов арифметической прогрессии, нам нужно сначала вычислить её первый член $a_1$ и разность прогрессии $d$.

Дано:

• $a_4 = 10$

• $a_7 = 19$

В общем виде член арифметической прогрессии можно выразить как:

где:

• $a_n$ — это $n$-й член прогрессии,

• $a_1$ — первый член прогрессии,

• $d$ — разность прогрессии.

Для $a_4$ и $a_7$ получаем следующие уравнения:

1. $a_4 = a_1 + 3d = 10$

2. $a_7 = a_1 + 6d = 19$

Теперь решим эту систему уравнений.

Из первого уравнения:

Из второго уравнения:

Вычитаем уравнение (1) из уравнения (2):

Теперь, зная разность $d = 3$, подставим её в одно из уравнений для нахождения $a_1$. Используем уравнение (1):

Таким образом, первый член прогрессии $a_1 = 1$, а разность прогрессии $d = 3$.

Теперь, чтобы найти сумму первых десяти членов прогрессии, используем формулу для суммы $S_n$ первых $n$-ти членов арифметической прогрессии:

Для $n = 10$:

Ответ: сумма первых десяти членов арифметической прогрессии равна 145.