Найдите сумму целых решений неравенства \( x^2 - x < 0 \).

Рассмотрим неравенство $x^2 - x < 0$.

1. Для начала, преобразуем неравенство:

2. Это неравенство является произведением двух выражений $x$ и $(x - 1)$, и нам нужно найти такие значения $x$, при которых произведение этих выражений отрицательно. Для этого определим, при каких значениях переменных $x$ и $(x - 1)$ знак произведения будет отрицательным.

3. Точки пересечения этих выражений с нулём: $x = 0$ и $x = 1$, то есть, функции равны нулю при этих значениях.

4. Теперь рассмотрим знаки на промежутках, которые делятся на три части: $(-\infty, 0)$, $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$.

   • На промежутке $(-\infty, 0)$: $x < 0$, и $x - 1 < 0$, следовательно, произведение $x(x - 1)$ будет положительным.

   • На промежутке $(0, 1)$: $x > 0$, а $x - 1 < 0$, значит, произведение $x(x - 1)$ будет отрицательным.

   • На промежутке $(1, +\infty)$: $x > 0$, и $x - 1 > 0$, следовательно, произведение $x(x - 1)$ будет положительным.

5. Необходимо, чтобы произведение $x(x - 1)$ было отрицательным, то есть, решение неравенства лежит на промежутке $(0, 1)$.

6. Поскольку нас интересуют целые решения, то на промежутке $(0, 1)$ единственным целым числом является $x = 0$.

7. Таким образом, единственным целым решением неравенства является $x = 0$.

8. Сумма целых решений будет равна $0$.