Найдите точку максимума функции у=корень из 4-4х-х^2

Чтобы найти точку максимума функции $y = \sqrt{4 - 4x - x^2}$, необходимо выполнить несколько шагов:

1. Определим область определения функции.

Функция задана подкоренным выражением, и для того чтобы $y$ существовал, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. То есть:

Преобразуем это неравенство:

Умножим на -1 (не меняя знаков неравенства):

Решим это неравенство. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

Используем формулу для решения квадратного уравнения:

Таким образом, корни уравнения: $x_1 = -2 + 2\sqrt{2}$ и $x_2 = -2 - 2\sqrt{2}$.

Область определения функции: $-2 - 2\sqrt{2} \leq x \leq -2 + 2\sqrt{2}$.

2. Найдем производную функции для поиска критических точек.

Для нахождения точек максимума или минимума найдем производную функции $y$. Используем цепное правило для функции вида $y = \sqrt{u(x)}$, где $u(x) = 4 - 4x - x^2$. Тогда производная будет:

Найдем производную функции $u(x) = 4 - 4x - x^2$:

Теперь подставим это в выражение для производной $y'$:

3. Найдем критические точки.

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:

Числитель должен быть равен нулю:

Таким образом, критическая точка — $x = -2$.

4. Определим характер критической точки.

Для этого используем вторую производную. Сначала найдем вторую производную функции. Для этого возьмем производную от выражения для первой производной: