Найдите точку максимума функции у=корень из 4-4х-х^2

Ответы на вопрос

Отвечает Белякова Вика.

Чтобы найти точку максимума функции $y = \sqrt{4 - 4x - x^2}$ , необходимо выполнить несколько шагов:

1. Определим область определения функции.

Функция задана подкоренным выражением, и для того чтобы $y$ существовал, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. То есть:

4 - 4x - x^2 \geq 0

Преобразуем это неравенство:

-x^2 - 4x + 4 \geq 0

Умножим на -1 (не меняя знаков неравенства):

x^2 + 4x - 4 \leq 0

Решим это неравенство. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

x^2 + 4x - 4 = 0

Используем формулу для решения квадратного уравнения:

x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1}

x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2}

x = \frac{-4 \pm \sqrt{32}}{2}

x = \frac{-4 \pm 4\sqrt{2}}{2}

x = -2 \pm 2\sqrt{2}

Таким образом, корни уравнения: $x_1 = -2 + 2\sqrt{2}$ и $x_2 = -2 - 2\sqrt{2}$ .

Область определения функции: $-2 - 2\sqrt{2} \leq x \leq -2 + 2\sqrt{2}$ .

2. Найдем производную функции для поиска критических точек.

Для нахождения точек максимума или минимума найдем производную функции $y$ . Используем цепное правило для функции вида $y = \sqrt{u(x)}$ , где $u(x) = 4 - 4x - x^2$ . Тогда производная будет:

y' = \frac{1}{2\sqrt{u(x)}} \cdot u'(x)

Найдем производную функции $u(x) = 4 - 4x - x^2$ :

u'(x) = -4 - 2x

Теперь подставим это в выражение для производной $y'$ :

y' = \frac{-4 - 2x}{2\sqrt{4 - 4x - x^2}}

3. Найдем критические точки.

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:

\frac{-4 - 2x}{2\sqrt{4 - 4x - x^2}} = 0

Числитель должен быть равен нулю:

-4 - 2x = 0

x = -2

Таким образом, критическая точка — $x = -2$ .

4. Определим характер критической точки.

Для этого используем вторую производную. Сначала найдем вторую производную функции. Для этого возьмем производную от выражения для первой производной:

y^{}

Последние заданные вопросы в категории Математика