F (x)=5x в 4 степени

Пусть $F(x)=5x^4$.

1. Область определения: $x\in\mathbb{R}$.

2. Чётность: функция чётная, т.к. $F(-x)=5(-x)^4=5x^4=F(x)$.

3. Нули (корни): единственный ноль при $x=0$. Кратность корня — 4 (фактор $x^4$).

4. Значения (область значений): $F(x)\ge 0$. Точное множество значений — $[0,+\infty)$.

5. Пределы: $\lim\limits_{x\to \pm\infty}F(x)=+\infty$.

6. Производные:

   • $F'(x)=20x^3$.

   • $F''(x)=60x^2\ge 0$.

7. Критические точки и экстремумы:
   $F'(x)=0 \Rightarrow 20x^3=0 \Rightarrow x=0$.
   Для $x<0$: $F'(x)<0$ — убывает; для $x>0$: $F'(x)>0$ — возрастает.
   Следовательно, при $x=0$ — минимум: $F_{\min}=F(0)=0$. Максимума нет.

8. Монотонность:

   • Убывает на $(-\infty,0)$.

   • Возрастает на $(0,+\infty)$.

9. Выпуклость и точки перегиба:
   Так как $F''(x)=60x^2\ge 0$ для всех $x$, функция выпуклая на всей $\mathbb{R}$.
   Точки перегиба нет (в $x=0$ $F''=0$, но знак не меняется).

10. Первообразная (неопределённый интеграл):
    $\displaystyle \int 5x^4\,dx = x^5 + C$.

11. Пересечения с осями:

• С осью $Ox$: в точке $(0,0)$.

• С осью $Oy$: $F(0)=0$, та же точка.

Кратко: это «узкая чаша» четвёртой степени, симметричная относительно $Oy$, с глобальным минимумом 0 в нуле, не отрицательна и уходит в $+\infty$ при $|x|\to\infty$.