Lg(2xв квадрате +3x)=lg(6x+2)

Чтобы решить уравнение $\lg(2x^2 + 3x) = \lg(6x + 2)$, воспользуемся свойствами логарифмов.

1. Извлекаем логарифмы. Поскольку у нас есть логарифмы с одинаковым основанием (логарифм по основанию 10), можно сразу приравнять аргументы логарифмов. То есть:

   $$2x^2 + 3x = 6x + 2$$

2. Переносим все выражения в одну сторону уравнения:

   $$2x^2 + 3x - 6x - 2 = 0$$

   Упростим:

   $$2x^2 - 3x - 2 = 0$$

3. Решаем квадратное уравнение. Для этого применим формулу дискриминанта:

   $$D = b^2 - 4ac$$

   где $a = 2$, $b = -3$, и $c = -2$.

   Рассчитаем дискриминант:

   $$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$$

4. Находим корни уравнения по формуле:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

   Подставляем значения $a$, $b$ и $D$:

   $$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 5}{4}$$

   Это дает два корня:

   $$x_1 = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$$

   и

   $$x_2 = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$

5. Проверка решения. Поскольку у нас логарифмы, то аргументы должны быть положительными. Проверим оба корня:

   • Для $x_1 = 2$:

     $$2x^2 + 3x = 2(2)^2 + 3(2) = 8 + 6 = 14 \quad (\text{положительно}),$$ $$6x + 2 = 6(2) + 2 = 12 + 2 = 14 \quad (\text{положительно}).$$

     Таким образом, $x = 2$ является решением.

   • Для $x_2 = -\frac{1}{2}$:

     $$2x^2 + 3x = 2\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 3\left(-\frac{1}{2}\right) = 2 \cdot \frac{1}{4} - \frac{3}{2} = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} = -1 \quad (\text{отрицательно}),$$ $$6x + 2 = 6\left(-\frac{1}{2}\right) + 2 = -3 + 2 = -1 \quad (\text{отрицательно}).$$

     Так как логарифм от отрицательного числа не существует, $x = -\frac{1}{2}$ не является решением.

6. Ответ: Единственный корень уравнения $\lg(2x^2 + 3x) = \lg(6x + 2)$ — это $x = 2$.