Определите область определения, множество значений, возрастание и убывание функции y = x^4.

Функция $y = x^4$ является многочленом четвёртой степени. Рассмотрим её основные характеристики.

1. Область определения
   Область определения функции $y = x^4$ — это множество всех действительных чисел, то есть $D(f) = \mathbb{R}$, поскольку возведение любого действительного числа в четвёртую степень всегда будет определено.

2. Множество значений
   Множество значений функции — это все возможные значения функции $y$ при любых значениях $x$. Поскольку $x^4$ всегда даёт неотрицательные результаты для всех действительных чисел (вне зависимости от того, положительное или отрицательное значение имеет $x$), то множество значений функции будет равно $[0, \infty)$.

3. Возрастание и убывание функции
   Функция $y = x^4$ имеет симметричную форму относительно оси $y$, поскольку степень чётная. Рассмотрим её поведение:

   • Для $x > 0$ функция возрастает, так как производная функции $y' = 4x^3$ положительна.

   • Для $x < 0$ функция также возрастает, так как $x^3$ при отрицательном $x$ даёт отрицательное значение, а производная $y' = 4x^3$ остаётся отрицательной, но при увеличении $|x|$ (абсолютного значения $x$) значение функции растёт.

   • В точке $x = 0$ функция имеет минимальное значение, равное 0.

Таким образом, функция $y = x^4$ является неубывающей, достигает минимального значения в точке $x = 0$, а затем начинает возрастать как для положительных, так и для отрицательных значений $x$.