Разность катетов прямоугольного треугольника равна 23 дм, а его гипотенуза — 37 дм. Найти периметр треугольника.

Для того чтобы найти периметр прямоугольного треугольника, нужно найти длины его катетов. Из условия задачи известно, что разность катетов равна 23 дм, а гипотенуза — 37 дм.

Обозначим катеты треугольника как $a$ и $b$, где $a > b$. Из условия задачи мы знаем, что:

1. $a - b = 23$

2. $a^2 + b^2 = 37^2$ (по теореме Пифагора, так как треугольник прямоугольный)

Рассмотрим шаги решения.

Шаг 1: Выразим $a$ через $b$

Из первого уравнения можно выразить $a$ через $b$:

Шаг 2: Подставим это выражение в теорему Пифагора

Теперь подставим $a = b + 23$ в уравнение по теореме Пифагора:

Раскроем скобки:

Упростим:

Шаг 3: Приведем уравнение к стандартному виду

Вычтем 1369 из обеих сторон:

Теперь разделим все на 2, чтобы упростить уравнение:

Шаг 4: Решим квадратное уравнение

Для решения этого уравнения используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

где $A = 1$, $B = 23$, $C = -420$. Подставим эти значения:

Теперь находим два корня:

или

Так как длина катета не может быть отрицательной, принимаем $b = 12$.

Шаг 5: Найдем $a$

Теперь, зная, что $b = 12$, найдем $a$ из уравнения $a = b + 23$:

Шаг 6: Найдем периметр треугольника

Периметр прямоугольного треугольника равен сумме длин всех его сторон:

где $a = 35$, $b = 12$, а $c = 37$ (гипотенуза). Подставим значения:

Ответ: периметр треугольника равен 84 дм.