Log6 (5x-2)>3 log6 2+2

Для того чтобы решить неравенство $\log_6(5x - 2) > 3\log_6 2 + 2$, нужно выполнить несколько шагов.

1. Перепишем правую часть неравенства:
   Сначала упростим правую часть, используя логарифмические свойства. Напоминаю, что $a \log_b c = \log_b (c^a)$.

   Таким образом, $3 \log_6 2 = \log_6(2^3) = \log_6 8$.

   Тогда неравенство будет выглядеть так:

   $$\log_6(5x - 2) > \log_6 8 + 2$$

2. Перепишем 2 как логарифм:
   Теперь представим 2 как логарифм по основанию 6. Так как $\log_6 6 = 1$, то $2 = \log_6 6^2 = \log_6 36$.

   После этого неравенство будет выглядеть так:

   $$\log_6(5x - 2) > \log_6 8 + \log_6 36$$

3. Используем свойство логарифмов:
   Сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения их аргументов, то есть:

   $$\log_6 a + \log_6 b = \log_6(ab)$$

   Тогда наше неравенство преобразуется в:

   $$\log_6(5x - 2) > \log_6(8 \cdot 36)$$

   Внутри логарифмов получаем:

   $$8 \cdot 36 = 288$$

   Таким образом, неравенство становится:

   $$\log_6(5x - 2) > \log_6 288$$

4. Удаляем логарифмы:
   Поскольку логарифм по основанию 6 является возрастающей функцией, то неравенство:

   $$\log_6(5x - 2) > \log_6 288$$

   эквивалентно:

   $$5x - 2 > 288$$

5. Решаем неравенство:
   Прибавим 2 к обеим частям:

   $$5x > 290$$

   Разделим обе части на 5:

   $$x > 58$$

6. Проверим область определения:
   Логарифм существует только тогда, когда его аргумент больше нуля. Поэтому:

   $$5x - 2 > 0$$

   Это даёт условие:

   $$x > \frac{2}{5}$$

7. Объединяем условия:
   Получаем, что решение неравенства будет выполнено, если:

   $$x > 58$$

Ответ: $x > 58$.