Log_4^(x+3)-log_4^(x-1)=2 - log_4^8

Для решения данного уравнения, давайте шаг за шагом преобразуем его, используя свойства логарифмов.

Итак, у нас есть уравнение:

1. Используем свойство разности логарифмов:

   Согласно свойству разности логарифмов:

   $$\log_a A - \log_a B = \log_a \left(\frac{A}{B}\right)$$

   Применим это к нашему уравнению:

   $$\log_4 \left(\frac{x+3}{x-1}\right) = 2 - \log_4 8$$

2. Приводим правую часть к общему логарифму:

   Выражение $\log_4 8$ можно преобразовать. Заметим, что 8 = $4^{3/2}$, то есть:

   $$\log_4 8 = \frac{3}{2}$$

   Теперь уравнение становится:

   $$\log_4 \left(\frac{x+3}{x-1}\right) = 2 - \frac{3}{2}$$

3. Упрощаем правую часть:

   $2 - \frac{3}{2} = \frac{4}{2} - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$, и теперь уравнение выглядит так:

   $$\log_4 \left(\frac{x+3}{x-1}\right) = \frac{1}{2}$$

4. Преобразуем логарифм в экспоненциальную форму:

   Логарифм $\log_4 A = B$ можно записать как $A = 4^B$. В нашем случае:

   $$\frac{x+3}{x-1} = 4^{1/2} = 2$$

5. Решаем полученное уравнение:

   Теперь решим уравнение:

   $$\frac{x+3}{x-1} = 2$$

   Умножим обе стороны на $x-1$:

   $$x + 3 = 2(x - 1)$$

   Раскроем скобки:

   $$x + 3 = 2x - 2$$

   Переносим все элементы с $x$ в одну сторону, а числа в другую:

   $$3 + 2 = 2x - x$$

   Получаем:

   $$5 = x$$

6. Проверка решения:

   Подставим $x = 5$ в исходное уравнение:

   $$\log_4(5+3) - \log_4(5-1) = 2 - \log_4 8$$

   Это будет:

   $$\log_4 8 - \log_4 4 = 2 - \log_4 8$$

   Поскольку $\log_4 8 = \frac{3}{2}$ и $\log_4 4 = 1$, то уравнение сводится к:

   $$\frac{3}{2} - 1 = 2 - \frac{3}{2}$$

   Это верно, так как обе части равны $\frac{1}{2}$.

Ответ: $x = 5$.