Решите уравнение \( x^3 - 3x^2 + 2 = 0 \).

Для решения уравнения $x^3 - 3x^2 + 2 = 0$, начнем с анализа выражения.

1. Попробуем найти возможные рациональные корни с помощью теоремы о рациональных корнях. Согласно этой теореме, возможные рациональные корни — это дроби вида $\pm \frac{a}{b}$, где $a$ — делители свободного члена (в данном случае 2), а $b$ — делители старшего коэффициента (в данном случае 1). Поэтому возможными корнями могут быть $\pm 1$, $\pm 2$.

2. Проверим, подходят ли эти значения для уравнения.

   Для $x = 1$:

   $$1^3 - 3(1)^2 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$$

   Значит, $x = 1$ является корнем уравнения.

3. Теперь разделим исходное уравнение $x^3 - 3x^2 + 2 = 0$ на $(x - 1)$ с помощью деления многочленов. Для этого сначала запишем многочлен как произведение:

   $$x^3 - 3x^2 + 2 = (x - 1)(x^2 - 2x - 2)$$

4. Теперь решим квадратное уравнение $x^2 - 2x - 2 = 0$ с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта:

   $$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(-2) = 4 + 8 = 12$$

   Корни квадратного уравнения:

   $$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{12}}{2(1)} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$$

Таким образом, у уравнения $x^3 - 3x^2 + 2 = 0$ три корня: $x = 1$, $x = 1 + \sqrt{3}$, и $x = 1 - \sqrt{3}$.