решите уравнение tgx + ctgx = 2

Чтобы решить уравнение $\tan(x) + \cot(x) = 2$, давайте сначала преобразуем его в более удобную форму.

1. Перепишем уравнение:

   Мы знаем, что $\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)}$. Подставим это в уравнение:

   $$\tan(x) + \frac{1}{\tan(x)} = 2.$$

2. Умножим обе части уравнения на $\tan(x)$, чтобы избавиться от дроби:

   $$\tan^2(x) + 1 = 2 \cdot \tan(x).$$

3. Переносим все члены в одну сторону:

   $$\tan^2(x) - 2 \cdot \tan(x) + 1 = 0.$$

4. Решим полученное квадратное уравнение:

   Это стандартное квадратное уравнение, которое можно решить по формуле для корней:

   $$\tan(x) = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}.$$

   Приводим к более простому виду:

   $$\tan(x) = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}.$$ $$\tan(x) = \frac{2 \pm 0}{2}.$$

   Таким образом, $\tan(x) = 1$.

5. Находим решение для $x$:

   Мы знаем, что $\tan(x) = 1$ при $x = \frac{\pi}{4} + n\pi$, где $n$ — целое число, поскольку тангенс имеет период $\pi$.

6. Ответ:

   Решения уравнения $\tan(x) + \cot(x) = 2$ — это все значения $x$, такие что

   $$x = \frac{\pi}{4} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}.$$