Найти корень уравнения \(2^{1-4x} = 32\).

Чтобы найти корень уравнения $2^{1-4x} = 32$, следуем следующим шагам:

1. Начнем с того, что выразим число 32 как степень двойки. Мы знаем, что:

   $$32 = 2^5.$$

   Таким образом, уравнение становится:

   $$2^{1-4x} = 2^5.$$

2. Поскольку основание в обеих частях уравнения одинаково (2), можно приравнять показатели степени:

   $$1 - 4x = 5.$$

3. Теперь решим полученное линейное уравнение для $x$:

   $$1 - 4x = 5.$$

   Отнимем 1 от обеих частей:

   $$-4x = 5 - 1,$$ $$-4x = 4.$$

4. Разделим обе части на $-4$:

   $$x = \frac{4}{-4} = -1.$$

Таким образом, корень уравнения $x = -1$.