1) Решите уравнение: x^3 + 6x^2 - x - 6 = 0. В ответ запишите сумму всех корней. 2) Решите двойное неравенство -4 < 2x - 1 < 2. Сколько целых чисел содержит полученный промежуток?

1. Для того чтобы решить уравнение $x^3 + 6x^2 - x - 6 = 0$, сначала попробуем найти рациональные корни с помощью теоремы о рациональных корнях. Согласно теореме, возможные рациональные корни – это делители свободного члена (в данном случае -6), деленные на делители старшего коэффициента (в данном случае 1). То есть возможные рациональные корни: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.

Теперь подставим эти значения в уравнение и проверим, какой из них является корнем.

• Подставим $x = -1$:

  $$(-1)^3 + 6(-1)^2 - (-1) - 6 = -1 + 6 + 1 - 6 = 0$$

  Значит, $x = -1$ — корень уравнения.

Теперь разделим исходное уравнение на $x + 1$ с помощью деления многочленов:

При делении получаем:

Таким образом, уравнение $x^3 + 6x^2 - x - 6 = 0$ можно записать как:

Теперь решим квадратное уравнение $x^2 + 5x - 6 = 0$ с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

где $a = 1$, $b = 5$, $c = -6$.

Подставим значения:

Таким образом, получаем два корня:

Таким образом, все корни уравнения: $x = -1$, $x = 1$, $x = -6$.

Сумма всех корней:

Ответ на первый вопрос: $-6$.

2. Рассмотрим неравенство $-4 < 2x - 1 < 2$.

Разделим его на два отдельных неравенства:

1. $-4 < 2x - 1$

2. $2x - 1 < 2$

Решим первое неравенство:

Прибавим 1 к обеим частям:

Теперь разделим обе части на 2:

Решим второе неравенство:

Прибавим 1 к обеим частям:

Теперь разделим обе части на 2:

Теперь объединим оба неравенства: