Логорифмическое уравнение log3 (1-x) = log3 (17-x-x^2)

Чтобы решить логарифмическое уравнение $\log_3(1 - x) = \log_3(17 - x - x^2)$, нужно воспользоваться свойствами логарифмов. В данном случае, если у нас есть два логарифма с одинаковым основанием, то их аргументы должны быть равны. То есть:

Теперь решим это уравнение. Сначала упростим его. Переносим все выражения на одну сторону:

Раскрываем скобки:

Упрощаем:

Решим это квадратное уравнение. Переносим 16 на правую сторону:

Теперь находим корни уравнения:

Однако, нужно учитывать, что логарифм можно взять только от положительных чисел. Это накладывает ограничения на значение $x$, поскольку аргументы логарифмов $1 - x$ и $17 - x - x^2$ должны быть положительными.

1. Для $x = 4$:

   • $1 - x = 1 - 4 = -3$, что является отрицательным, а логарифм от отрицательного числа не существует.

   Таким образом, $x = 4$ — это решение, которое не подходит.

2. Для $x = -4$:

   • $1 - x = 1 - (-4) = 5$, что положительно.

   • $17 - x - x^2 = 17 - (-4) - (-4)^2 = 17 + 4 - 16 = 5$, что тоже положительно.

Поскольку оба аргумента логарифмов положительные, $x = -4$ является допустимым решением.

Ответ: единственное решение уравнения — $x = -4$.