Чётна или нечётна сумма всех натуральных чисел от 1 до 50 включительно?

Сумма нечётна.

Пояснение. Сумма чисел от 1 до 50 равна по формуле арифметической прогрессии:

Посчитаем аккуратно: $51\cdot 20=1020$, $51\cdot 5=255$, вместе $1020+255=1275$. Число 1275 оканчивается на 5, значит оно нечётное.

Ещё способ без подсчёта: сгруппировать попарно $(1+50), (2+49), \dots, (25+26)$. Каждая пара даёт 51 — нечётное число. Таких пар 25 (нечётное количество). Сумма нечётного количества нечётных чисел остаётся нечётной. Поэтому итоговая сумма — нечётная.