Найди наибольшее число, у которого каждая цифра, начиная с третьей, равна сумме двух предыдущих.

Пусть число имеет цифры $a_1,a_2,\dots,a_n$ ($a_1\neq 0$), и для $k\ge3$ выполняется

Тогда для $n\ge3$ справедлива формула (с числами Фибоначчи $F_1=F_2=1$):

Проверим максимально возможную длину. Если бы $n\ge9$, то

что невозможно при $a_1\ge1$ и $a_2\ge0$. Значит, длина не больше 8.

Рассмотрим $n=8$:

Отсюда $13a_2\le 9\Rightarrow a_2=0$, а затем $8a_1\le 9\Rightarrow a_1=1$.
Получаем единственную подходящую начальную пару $(a_1,a_2)=(1,0)$, и вся последовательность цифр:

где следующая сумма уже дала бы 13, что недопустимо для цифры.

Итак, наибольшее число с требуемым свойством — это