Точки А, В, С, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги АВ, ВС, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 1:5:10:20. Найдите угол А четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.

Для того чтобы найти угол $A$ четырехугольника $ABCD$, нужно использовать теорему о центральном угле и о внешнем угле, образующем отрезки на окружности.

Шаг 1. Определение общей длины окружности

Дано, что градусные величины дуг $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ относятся как 1:5:10:20. Сначала найдем сумму всех этих отношений:

Таким образом, вся окружность делится на 36 частей.

Шаг 2. Вычисление величин дуг

Теперь найдем величины каждой из дуг. Так как вся окружность составляет 360 градусов, то каждый из частей дуги будет равен:

Значит, величины дуг будут следующие:

• Дуга $AB$: $1 \times 10^\circ = 10^\circ$,

• Дуга $BC$: $5 \times 10^\circ = 50^\circ$,

• Дуга $CD$: $10 \times 10^\circ = 100^\circ$,

• Дуга $DA$: $20 \times 10^\circ = 200^\circ$.

Шаг 3. Нахождение угла в четырехугольнике

Чтобы найти угол $\angle A$ четырехугольника $ABCD$, используем теорему о внешнем угле. Внешний угол на окружности равен половине разности между большими и меньшими дугами, которые соединяет этот угол. Угол $\angle A$ — это внешний угол для дуг $BC$ и $DA$. Поэтому:

Ответ: угол $A$ четырехугольника $ABCD$ равен 75 градусов.