Существует треугольник, один из углов которого равен разности двух других? Обоснуйте свое мнение.

Да, такие треугольники не просто существуют — это все прямоугольные треугольники.

Обозначу углы треугольника через $A,B,C$ и предположу, что один из них равен разности двух других, например

Тогда из условия суммы углов треугольника получаем:

И обратно: если треугольник прямоугольный и $B=90^\circ$, то для любого острого $C$ имеем

Следовательно, условие «один угол равен разности двух других» выполняется тогда и только тогда, когда один из “слагаемых” в этой разности — прямой угол. Значит, нужных треугольников бесконечно много: это все прямоугольные треугольники (каждый острый угол равен разности прямого и другого острого).