1. В круге случайным образом выбирается точка. Найдите вероятность того, что эта точка принадлежит вписанному в круг квадрату.

Чтобы найти вероятность того, что случайно выбранная точка внутри круга принадлежит вписанному в этот круг квадрату, нужно учесть отношение площадей этих двух фигур.

1. Площадь круга.
   Пусть радиус круга равен $R$. Площадь круга $S_{\text{круг}}$ равна:

   $$S_{\text{круг}} = \pi R^2$$

2. Площадь квадрата.
   Квадрат вписан в круг, значит его вершины лежат на окружности. Если сторона квадрата равна $a$, то она связана с радиусом круга следующим образом. Диагональ квадрата — это диаметром круга, то есть:

   $$\text{Диагональ квадрата} = 2R$$

   Диагональ квадрата также равна $a\sqrt{2}$ (по теореме Пифагора). Следовательно, сторона квадрата $a$ вычисляется как:

   $$a = \frac{2R}{\sqrt{2}} = R\sqrt{2}$$

   Площадь квадрата $S_{\text{квадрат}}$ равна:

   $$S_{\text{квадрат}} = a^2 = (R\sqrt{2})^2 = 2R^2$$

3. Вероятность.
   Вероятность того, что точка, случайным образом выбранная внутри круга, попадет в квадрат, равна отношению площади квадрата к площади круга:

   $$P = \frac{S_{\text{квадрат}}}{S_{\text{круг}}} = \frac{2R^2}{\pi R^2} = \frac{2}{\pi}$$

Таким образом, вероятность того, что точка принадлежит вписанному в круг квадрату, равна $\frac{2}{\pi}$.