Постройте график функции у = 3х в квадрате + 6х+1

Решение.

1. Это парабола вида $y=ax^2+bx+c$ с $a=3>0$, значит ветви направлены вверх и парабола «уже», чем $y=x^2$ (в 3 раза круче).

2. Вершина.
   $x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{6}{2\cdot3}=-1$.
   $y_0=f(-1)=3(-1)^2+6(-1)+1=3-6+1=-2$.
   Вершина $(-1,-2)$. Ось симметрии: $x=-1$.

3. Представление через полный квадрат:

Отсюда видно: график $y=3(x+1)^2-2$ — это $y=3x^2$, сдвинутый на 1 влево и на 2 вниз.

4. Пересечения с осями.
   — С осью $Oy$: $x=0\Rightarrow y=1$. Точка $(0,1)$.
   — С $Ox$: $3x^2+6x+1=0$.
   $D=b^2-4ac=36-12=24$.

Точки $\bigl(\tfrac{-3-\sqrt6}{3},0\bigr)$ и $\bigl(\tfrac{-3+\sqrt6}{3},0\bigr)$.

5. Удобные контрольные точки (симметричные относительно $x=-1$):
   $x=0\Rightarrow y=1$ и $x=-2\Rightarrow y=1$;
   $x=1\Rightarrow y=10$ и $x=-3\Rightarrow y=10$.

6. Как построить:

• Отметьте вершину $(-1,-2)$ и проведите ось $x=-1$ пунктиром.

• Поставьте точки $(0,1)$ и $(-2,1)$, затем $(1,10)$ и $(-3,10)$.

• При желании отметьте корни (около $-1{,}816$ и $-0{,}184$).

• Соедините точки плавной U-образной линией, открытой вверх.

График приведён на рисунке выше.