Равнобедренный треугольник вписан в окружность, причём его основание является диаметром окружности. Найдите длину окружности и площадь круга, если площадь треугольника равна 25 см².

Раз основание равнобедренного треугольника — диаметр окружности, то угол при вершине, противоположной основанию, опирается на диаметр, а значит равен $90^\circ$ (угол, опирающийся на диаметр, прямой). Равнобедренный + прямой ⇒ треугольник прямоугольный равнобедренный: его катеты равны.

Пусть каждый катет равен $x$. Тогда площадь треугольника

В прямоугольном равнобедренном треугольнике гипотенуза равна $x\sqrt2$, а в нашей задаче гипотенуза — это диаметр окружности. Значит

Тогда:

• длина окружности: $\;L=2\pi R=2\pi\cdot 5=10\pi$ см;

• площадь круга: $\;S_{\text{круга}}=\pi R^2=\pi\cdot 5^2=25\pi$ см².

Ответ: $L=10\pi$ см, $S=25\pi$ см².