В круг наудачу брошена точка. Найдите вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг прямоугольного треугольника, один из углов которого 30 градусов.

Задача заключается в нахождении вероятности того, что точка, случайно выбранная внутри круга, окажется внутри прямоугольного треугольника, вписанного в этот круг. Один из углов этого треугольника равен 30 градусов.

Шаг 1: Изучим свойства прямоугольного треугольника в круге

Так как треугольник вписан в круг, его гипотенуза будет диаметром этого круга. Это важный момент, так как в круге с центром в точке O диаметр является наибольшей хордой.

Пусть радиус круга равен $R$. Тогда длина гипотенузы прямоугольного треугольника, которая является диаметром круга, равна $2R$.

Шаг 2: Угол в треугольнике

Один из углов треугольника равен 30 градусам. Так как треугольник прямоугольный, второй угол будет равен 60 градусам (все углы в треугольнике должны в сумме давать 180 градусов). Третий угол, соответственно, равен 90 градусам.

Шаг 3: Рассчитаем площадь прямоугольного треугольника

Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить, зная его катеты. Катеты треугольника можно выразить через радиус круга $R$, используя тригонометрические соотношения.

• Один из катетов будет равен $R \sin(30^\circ) = R \cdot \frac{1}{2}$, то есть $\frac{R}{2}$.

• Второй катет будет равен $R \sin(60^\circ) = R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$, то есть $\frac{R\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, площадь прямоугольного треугольника равна:

Шаг 4: Площадь круга

Площадь круга с радиусом $R$ вычисляется по формуле:

Шаг 5: Вероятность попадания точки внутрь треугольника

Теперь вероятность того, что случайно выбранная точка окажется внутри треугольника, равна отношению площади треугольника к площади круга:

Таким образом, вероятность того, что точка окажется внутри прямоугольного треугольника, равна: