Дан ромб ABCD. O — точка пересечения диагоналей. Угол BAO равен 60 градусов, AO = 3 см. Найти периметр ABCD.

Для решения задачи рассмотрим свойства ромба и используем данные из условия.

1. Свойства ромба:

   • В ромбе все стороны равны.

   • Диагонали ромба перпендикулярны и делят его на четыре равных прямоугольных треугольника.

   • Точка пересечения диагоналей (точка O) является серединой каждой из диагоналей.

2. Из условия задачи:

   • Угол $\angle BAO = 60^\circ$.

   • Длина отрезка $AO = 3$ см (это половина длины одной диагонали ромба).

3. Анализ треугольника $\triangle BAO$:
   В треугольнике $\triangle BAO$ угол $\angle BAO = 60^\circ$, а $AO = 3$ см — это половина длины диагонали. Треугольник $\triangle BAO$ является прямоугольным (так как диагонали ромба перпендикулярны), и это позволяет нам использовать теорему Пифагора для нахождения длины стороны ромба.

4. Нахождение длины стороны ромба:
   Так как $\angle BAO = 60^\circ$ и $AO = 3$ см, можно применить тригонометрические функции. В прямоугольном треугольнике $\triangle BAO$ используется синус угла $\angle BAO$, чтобы найти длину стороны $AB$:

   $$\sin(60^\circ) = \frac{AO}{AB}$$ $$\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{AB}$$ $$AB = \frac{3 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$$

   Таким образом, длина стороны ромба $AB = 2\sqrt{3}$ см.

5. Нахождение периметра ромба:
   Поскольку все стороны ромба равны, периметр ромба $P$ равен 4 раза длине одной стороны:

   $$P = 4 \cdot AB = 4 \cdot 2\sqrt{3} = 8\sqrt{3} \, \text{см}$$

Ответ: Периметр ромба равен $8\sqrt{3}$ см.