Углы треугольника относятся как 1:2:3. Найдите меньшую сторону этого треугольника, если большая его сторона равна 10 см.

Для того чтобы решить эту задачу, давайте сначала поймем, что означает соотношение углов треугольника 1:2:3.

1. Шаг 1: Определение углов треугольника
   Углы треугольника относятся как 1:2:3. Обозначим углы как $x$, $2x$ и $3x$, где $x$ — это угловой коэффициент. Мы знаем, что сумма всех углов треугольника всегда равна 180°. Поэтому можем записать уравнение:

   $$x + 2x + 3x = 180^\circ$$

   Решив это уравнение, получим:

   $$6x = 180^\circ \quad \Rightarrow \quad x = 30^\circ$$

   Таким образом, углы треугольника равны:

   • Первый угол: $30^\circ$,

   • Второй угол: $60^\circ$,

   • Третий угол: $90^\circ$.

   Это треугольник с углами 30°-60°-90°, то есть прямоугольный треугольник.

2. Шаг 2: Определение сторон треугольника
   В прямоугольном треугольнике с углами 30°-60°-90° существуют определенные отношения между сторонами:

   • Сторона, противоположная углу 30° (меньшая катет), будет равна $\frac{1}{2}$ гипотенузы,

   • Сторона, противоположная углу 60° (больший катет), будет равна $\frac{\sqrt{3}}{2}$ гипотенузе,

   • Гипотенуза (сторона напротив угла 90°) будет самой длинной стороной.

3. Шаг 3: Применение данных задачи
   Из условия задачи мы знаем, что большая сторона треугольника (гипотенуза) равна 10 см. Теперь найдем меньшую сторону (катет, противоположный углу 30°).

   По отношению сторон для треугольника 30°-60°-90°:

   $$\text{Меньшая сторона} = \frac{1}{2} \times \text{Гипотенуза}$$

   Подставляем значение гипотенузы:

   $$\text{Меньшая сторона} = \frac{1}{2} \times 10 = 5 \, \text{см}$$

Ответ: Меньшая сторона треугольника равна 5 см.