Решить уравнение всеми способами. 3x+5y=4 7x-3y =24

Для решения системы уравнений $3x + 5y = 4$ и $7x - 3y = 24$ можно использовать несколько методов: метод подбора, метод подстановки и метод сложения (или метод исключения). Рассмотрим решение с помощью метода сложения (исключения) и метода подстановки.

Метод сложения (исключения):

Мы можем сложить оба уравнения так, чтобы избавиться от одной из переменных.

1. Умножим первое уравнение на 3, а второе — на 5, чтобы коэффициенты перед $y$ стали противоположными:

   $$(3x + 5y = 4) \times 3 \quad \Rightarrow \quad 9x + 15y = 12$$ $$(7x - 3y = 24) \times 5 \quad \Rightarrow \quad 35x - 15y = 120$$

2. Складываем оба полученных уравнения:

   $$(9x + 15y) + (35x - 15y) = 12 + 120$$

   Получаем:

   $$9x + 35x = 132 \quad \Rightarrow \quad 44x = 132$$

3. Решаем для $x$:

   $$x = \frac{132}{44} = 3$$

4. Подставляем найденное значение $x = 3$ в одно из исходных уравнений. Возьмём первое уравнение $3x + 5y = 4$:

   $$3(3) + 5y = 4 \quad \Rightarrow \quad 9 + 5y = 4$$ $$5y = 4 - 9 = -5 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{-5}{5} = -1$$

Ответ: $x = 3$, $y = -1$.

Метод подстановки:

1. Из первого уравнения выразим $x$ через $y$:

   $$3x + 5y = 4 \quad \Rightarrow \quad 3x = 4 - 5y \quad \Rightarrow \quad x = \frac{4 - 5y}{3}$$

2. Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:

   $$7x - 3y = 24$$

   Подставляем $x = \frac{4 - 5y}{3}$:

   $$7 \left( \frac{4 - 5y}{3} \right) - 3y = 24$$

   Умножаем на 3, чтобы избавиться от знаменателя:

   $$7(4 - 5y) - 9y = 72$$

   Раскрываем скобки:

   $$28 - 35y - 9y = 72$$

   Упрощаем:

   $$28 - 44y = 72$$

   Переносим 28 в правую часть:

   $$-44y = 72 - 28 \quad \Rightarrow \quad -44y = 44$$

   Разделим обе части на -44:

   $$y = \frac{44}{-44} = -1$$

3. Подставим найденное значение $y = -1$ в выражение для $x$:

   $$x = \frac{4 - 5(-1)}{3} = \frac{4 + 5}{3} = \frac{9}{3} = 3$$

Ответ: $x = 3$, $y = -1$.

Обе метода дают одинаковые решения. Ответ: $x = 3$, $y = -1$.