Y=-x^4+8x^2-16 на отрезке [-1;3]

Решу задачу как «найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке».

Дана функция
$f(x)=-x^4+8x^2-16$, отрезок $[-1;3]$.

1. Критические точки на отрезке.
   $f'(x)=-4x^3+16x=-4x(x^2-4)=-4x(x-2)(x+2)$.
   Нули производной: $x=-2,0,2$. На нашем отрезке лежат $x=0$ и $x=2$.

2. Проверяем значения в концах и критических точках:

3. Сравнение: $-25 < -16 < -9 < 0$.

Следовательно, на $[-1;3]$:

• наибольшее значение $f_{\max}=0$ достигается при $x=2$;

• наименьшее значение $f_{\min}=-25$ достигается при $x=3$.

Для полноты: поведение на отрезке — убывает на $[-1,0]$, возрастает на $[0,2]$, снова убывает на $[2,3]$. Точка $x=0$ — локальный минимум ($f(0)=-16$), $x=2$ — локальный максимум и одновременно глобальный максимум на данном отрезке.