Log6 (x+3)+log6 (x-2)=1

Для решения уравнения $\log_6(x + 3) + \log_6(x - 2) = 1$, воспользуемся свойствами логарифмов.

1. Применим свойство логарифмов: сумма логарифмов равна логарифму произведения их аргументов. То есть:

2. Подставим это в исходное уравнение:

3. Теперь, так как логарифм с основанием 6 равен 1, это означает, что аргумент логарифма должен быть равен 6, то есть:

4. Раскроем скобки:

5. Переносим 6 на левую сторону:

6. Это квадратное уравнение. Чтобы решить его, применим формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

где $a = 1$, $b = 1$, $c = -12$. Подставляем эти значения:

7. Находим два возможных значения для $x$:

8. Теперь проверим, не нарушают ли эти значения условий, при которых логарифмы существуют. Логарифмы определены только для положительных аргументов, то есть:

• Для $x = 3$: $x + 3 = 6$ и $x - 2 = 1$, оба аргумента положительные.

• Для $x = -4$: $x + 3 = -1$ и $x - 2 = -6$, оба аргумента отрицательные, что делает значение логарифма неопределенным.

Таким образом, единственное решение уравнения — это $x = 3$.