Выберите 2 верных утверждения: Повар испёк для вечеринки 45 кексов, из них 15 штук посыпал кокосовой стружкой, а 20 кексов посыпал сахарной пудрой. Что следует из этого? 1) Хотя бы 16 кексов посыпаны и сахарной пудрой, и кокосовой стружкой. 2) Найдётся 10 кексов, которые ничем не посыпаны. 3) Не может оказаться более 15 кексов, посыпанных и сахарной пудрой, и кокосовой стружкой. 4) Если кекс посыпан сахарной пудрой, то он посыпан и кокосовой стружкой.

Рассмотрим задачу аккуратно, через множества.

Пусть:

• всего кексов — 45,

• с кокосовой стружкой — 15 (обозначим это множество $C$),

• с сахарной пудрой — 20 (обозначим это множество $S$).

Тогда:

• $|C| = 15$,

• $|S| = 20$,

• всего кексов — 45.

Нас интересует пересечение $C \cap S$ (кексы, посыпанные и кокосом, и сахарной пудрой), а также кексы без посыпки.

Используем формулу для объединения множеств:

1. Оценим пересечение $C \cap S$.

Очевидные границы:

• максимум пересечения не может превышать меньшее из двух чисел:
  $|C \cap S| \le \min(|C|, |S|) = 15$.

• нижняя граница по формуле:

  $$|C \cap S| \ge |C| + |S| - 45 = 15 + 20 - 45 = -10.$$

  Отрицательное значение означает, что нижней реальной границей является 0:
  $|C \cap S| \ge 0$.

Итак, возможные значения пересечения:

2. Кексы без посыпки.

Число кексов, имеющих хотя бы одну посыпку:

Тогда число кексов без посыпки вообще:

Так как $|C \cap S| \ge 0$, получаем:

То есть в любом случае найдётся как минимум 10 кексов без посыпки.

Теперь проверим каждое утверждение.

Утверждение 1

«Хотя бы 16 кексов посыпаны и сахарной пудрой, и кокосовой стружкой.»

Мы уже нашли, что максимум пересечения — 15 кексов.
16 быть не может ни при каком раскладе.

Утверждение 1 — ложное.

Утверждение 2

«Найдётся 10 кексов, которые ничем не посыпаны.»

Мы посчитали: кексов без посыпки всегда не меньше 10 (от 10 до 25, в зависимости от пересечения).

Фраза «найдётся 10 кексов» означает «есть хотя бы 10 таких кексов».
Если их 10, 15 или 25 — в любом случае можно указать 10 штук среди них.

Значит, утверждение выполняется при любом возможном раскладе.

Утверждение 2 — верное.

Утверждение 3

«Не может оказаться более 15 кексов, посыпанных и сахарной пудрой, и кокосовой стружкой.»

Пересечение двух множеств не может быть больше меньшего из них.
Кокосом посыпано всего 15 кексов, значит кексов с обоими видами посыпки не может быть больше 15.

Это логическое следствие из того, что

Утверждение 3 — верное.

Утверждение 4

«Если кекс посыпан сахарной пудрой, то он посыпан и кокосовой стружкой.»

Это означало бы, что все 20 кексов с сахарной пудрой входят в 15 кексов с кокосом — то есть множество $S$ содержится в $C$. Тогда число кексов с сахарной пудрой не могло бы превышать число кексов с кокосом, а на деле:

Такое невозможно, значит утверждение противоречит данным условия.

Утверждение 4 — ложное.

Ответ: верны утверждения 2 и 3.